Справка DIGIMINE

Метод обратных расстояний в степени

Метод обратных расстояний в степени

Previous topic Next topic  

Метод обратных расстояний в степени

Previous topic Next topic  

 

Метод обратных расстояний в степени является одним из видов линейных интерполяторов.

 

В западных программах для этого метода используется термин Inverse Power of Distance (IPD).

Также можно встретить термины Inverse Distance to a Power и Inverse Distance Weighting (IDW).

 

 

Формула для расчета значения в некоторой точке пространства (например, в точке, находящейся в центре какого-либо блока блочной модели):

 

,

 

где

С - оцениваемое значение (содержания) в некоторой точке пространства;

N - количество точек с известными значениями (содержаний), используемых при расчетах для одной оцениваемой точки;

ci  - известное значение (содержания) в i-той точке;

wi  - весовой коэффициент для значения в i-той точке.

 

 

 

 

Весовые коэффициенты для каждой исходной точки вычисляются по формуле:

,

 

где

hi - "расстояние" от точки, в которой оценивается значение (содержания) до i-той точки с известным значением.

            ,

             где

            di - расстояние, с учетом анизотропии, от точки, в которой оценивается значение (содержания) до i-той точки с известным значением.

                                ,

                                   где

                     dx, dy, dz - смещения (метров) по осям i-той точки от точки, для которой производится оценка (в системе координат повернутого соответствующим образом эллипсоида).

                                                                      Центр эллипсоида - в точке, для которой производится оценка.

                                                                      Ось Y совпадает с главной полуосью, ось X - со средней полуосью, а осью Z - с малой полуосью эллипсоида.

                                  kx - коэффициент, показывающий во сколько раз длина главной полуоси больше длины средней полуоси эллипсоида;

                                  kz - коэффициент, показывающий во сколько раз длина главной полуоси больше длины малой полуоси эллипсоида.

                                              Так как главная полуось совпадает с осью Y, то коэффициент при dy опускается (всегда равен 1.0).

 

            δ - сглаживающий параметр.  Если этот параметр больше нуля, то для исходных значений, расположенных очень близко к точке, в которой производится оценка, снижается весовой коэффициент.

                   Если сглаживающий параметр задается равным нулю, то при наличии близкорасположенной точки весовые коэффициенты для остальных точек стремятся к нулю, даже если они попадают непосредственно в оцениваемый блок блочной модели.

                   Ориентировочно можно считать, что этот параметр задается в метрах.

   

      Заметим, что использование при расчетах точек дискретизации снимает проблему близкорасположенных точек, т.к. конкретная исходная точка может оказаться очень близко лишь к одной точке дискретизации.

 

 

β - степень для "расстояния". Чаще всего используется значение, равное 2 (в таком случае нередко используется название "метод обратных квадратов").

 

 

 

Знаменатель служит для того, чтобы сумма весовых коэффициентов Wi равнялась единице.

 

 

 

 

 

При расчетах для каждой i-той исходной точки сначала вычисляются значения (назовем их предварительными весами):

 

 

Затем находится сумма предварительных весов :

 

 

Окончательные весовые коэффициенты :

 

 

 

 

 

 

Для иллюстрации расчетов по приведенным формулам, а также влияния параметра сглаживания рассмотрим пример вычисления содержания в оцениваемой точке для 4-х исходных проб (N=4).

 

В столбцах таблиц записано:

i - номер точки, принимающей участие в расчете.

dx, dy, dz - смещения (метров) по осям i-той точки от точки, для которой производится оценка (в системе координат повернутого соответствующим образом эллипсоида).

di - "расстояние" с учетом анизотропии.

hi - "расстояние" с учетом параметра сглаживания.

ti - предварительный вес.     S  - сумма предварительных весов.

wi - окончательный весовой коэффициент. Сумма весовых коэффициентов W всегда равна 1.0.

ci - исходные содержания в пробах.

ci*wi -  столбец для вычисления итогового содержания в оцениваемой точке. Сумма по столбцу дает искомый результат.

 

 

 

 

Степень β = 2.0

 

1.   kx = 1.0       kz = 1.0  (Эллипсоид в виде сферы)     δ = 0.0

i

dx

dy

dz

di

hi

ti

wi

ci

ci*wi

1

0.3

0.0

0.0

0.3

0.3

11.111

0.995

1.0

0.995

2

0.0

5.0

0.0

5.0

5.0

0.040

0.004

4.0

0.014

3

0.0

0.0

-10.0

10.0

10.0

0.010

0.001

5.0

0.004

4

-10.0

5.0

10.0

15.0

15.0

0.004

0.0004

5.0

0.002

 

 

 

 

 

 

S = 11.166

W = 1.000

 

C = 1.016

 

 

2.   kx = 1.0       kz = 1.0  (Эллипсоид в виде сферы)     δ = 1.0

i

dx

dy

dz

di

hi

ti

wi

ci

ci*wi

1

0.3

0.0

0.0

0.3

1.044

0.917

0.945

1.0

0.946

2

0.0

5.0

0.0

5.0

5.099

0.038

0.040

4.0

0.159

3

0.0

0.0

-10.0

10.0

10.050

0.010

0.010

5.0

0.051

4

-10.0

5.0

10.0

15.0

15.033

0.004

0.005

5.0

0.023

 

 

 

 

 

 

S = 0.970

W = 1.000

 

C = 1.178

 

 

 

3.   kx = 2.0       kz = 4.0    δ = 1.0

i

dx

dy

dz

di

hi

ti

wi

ci

ci*wi

1

0.3

0.0

0.0

0.6

1.166

0.735

0.949

1.0

0.949

2

0.0

5.0

0.0

5.0

5.099

0.038

0.050

4.0

0.199

3

0.0

0.0

-10.0

40.0

40.012

0.001

0.001

5.0

0.004

4

-10.0

5.0

10.0

45.0

45.011

0.000

0.0006

5.0

0.003

 

 

 

 

 

 

S = 0.775

W = 1.000

 

C = 1.155

 

 

 

Отметим, что при использовании сглаживающего параметра δ > 0.0 для проб с малым (сопоставимым с δ) значением di существенно изменяется hi. В результате происходит уменьшение весовых коэффициентов для таких проб.

Для проб с относительно большим значением di изменение hi из-за использования сглаживающего параметра незначительно.